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素数

这个很好写。我们可以很好的理解埃氏筛，然后加一些优化即可得到线性筛。

inline void get_pri(int n){
	for(int i=2;i<=n;++i) not_pri[i]=0;
	not_pri[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(!not_pri[i]){
			pri[++pri[0] ]=i;
		}
		for(int j=1;j<=pri[0] and pri[j]*i<=n;++j){
			not_pri[i*pri[j] ]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;//优化，防止重复筛同一个数
		}
	}
}

因为每个数都可以被拆分成若干个质因数，所以我们可以用枚举的数乘上素数来筛。

其实很好理解，稍微难一点的在于对于那个优化的理解。

由于我们枚举素数的时候是从小到大的，那么我们可以知道，当 $i\% pri[j]==0$ 成立的时候, $pri[j]$ 为 $i$ 的最小质因子。那么接下来筛出来的东西的最小质因子是 $pri[j]$，这个我们交给之后的数乘上这个最小质因子来筛掉，中断循环，以此优化时间复杂度至 $O(n)$.

欧拉函数

这个我们可以和素数一起求(因为确实要用素数)

还是同一个优化。

inline void get_Euler(int n){
	for(int i=2;i<=n;++i) not_pri[i]=0;
	not_pri[1]=1;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(!not_pri[i]){
			pri[++pri[0] ]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=pri[0] and pri[j]*i<=n;++j){
			not_pri[i*pri[j] ]=1;
			if(i%pri[j]){
				phi[i*pri[j] ]=phi[i]*(pri[j]-1);
			}else{
				phi[i*pri[j] ]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
		}
	}
}

我们考率，当 $i$ 为一个素数时,那么它显然与所有比它小的数互质，于是赋予其 $i-1$

当 $pri[j]\mid i$ 时，我们可以得到： $\varphi(ip)=ip\Pi_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})$ 由于 $i$ 包含了 $ip$ 的全部质因子，所以： $=p\varphi (i)$

对于 $pri[j]\not\mid i$,即 $gcd(pri[j],i)=1$ 那么欧拉函数满足积性函数的性质。 有：$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

其他便于素数筛区别不大了。

莫比乌斯函数

o

照着这张图就十分简单了。

inline void get_mu(int n){
	for(int i=2;i<=n;++i){
		not_pri[i]=0;
	}
	not_pri[1]=1;
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(!not_pri[i]){
			pri[++pri[0] ]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=pri[0] and pri[j]*i<=n;++j){
			not_pri[i*pri[j] ]=1;
			if(i%pri[j]){
				mu[i*pri[j] ]=-mu[i];
			}else{
				mu[i*pri[j] ]=0;
				break;
			}
		}
	}
}

还是分情况来，对于 $i$ 为素数，显然只有一个质因子，给上 $-1$ 的初始值。

若 $pri[j]\mid i$,那么 $i$ 被 $pri^2[j]$ 整除,于是给 $0$ 的赋值.

对于 $pri[j]\not\mid i$,那么相当于在 $i$ 的基础上加上一个 $pri[j]$ 的质因子，于是给 $-\mu(n)$ 的赋值。

其实其他的积性函数大多可以用线性筛来筛，我们大多按照以上三种情况讨论即可。